Question

正方形ABCD中，E為AD上的一點（不與A、D點重合），AD=nAE，BE的垂直平分線分別交AB、CD于F、G兩點，垂足為H．

（1）如圖1，當n=2時，則=　_________　；

（2）如圖1，當n=2時，求的值；

（3）延長FG交BC的延長線于M（如圖2），直接填空：當n=　_________　時，．

 

Answer 1

【答案】

（1）    （2）     （3）

【解析】

試題分析：（1）如圖1，過點H作HM⊥AD于M．

∵BE的垂直平分線分別交AB、CD于F、G兩點，HM⊥AD，

∴MH是△ABE的中位線，

∴AM=ME；

∵AD=2AE，

∴AM=DM，

∴==（平行線分線段成比例定理），

故答案為：；

（2）如圖2，連接EG、BG．

∵ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=∠C=90°．

設AB=BC=CD=AD=4x，CG=y．

當n=2時，AD=2AE，

∴AE=ED=2x；

在Rt△EDG中，EG²=ED²+DG²（勾股定理），

即EG²=（2x）²+（4x﹣y）²．

在Rt△BCG中，BG²=BC²+CG²，

即BG²=（4x）²+y²．

∵FG垂直平分BE，

∴EG=BG．

∴（2x）²+（4x﹣y）²=（4x）²+y²

得y=，

∴DG=DC﹣CG=．

∵FH⊥BE，

∴∠BHF=90°

可得Rt△BHF∽Rt△BAE，可得BF=．

∴；

（3）n=．

考點：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

點評：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識點．要充分利用好正方形的性質(zhì)，通過已知和所求的條件構建出相似三角形來求解是解題的關鍵．