Question

【題目】 如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，且AB＝BC＝4，AD＝2，點E是邊BC上的一個動點，EF⊥BC交AD于點F，將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，若兩邊重疊部分的面積為3，則BE的長為（　　）

A.或B.C.D.或4+

Answer 1

【答案】A

【解析】

如圖1，將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，兩邊重疊部分為五邊形EB′GDF，推出四邊形ABEF是矩形，得到AB=EF=4，AF=BE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到A′F=AF，B′E=BE，A′B′=AB=4，設(shè)BE=x，則AF=A′F=B′E=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到B′G=4（2-x），根據(jù)題意列方程得到[（2-x）+（4-x）]×4（4-2x）（8-4x）=3此方程無實數(shù)根，故這種情況不存在；如圖2，將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，兩邊重疊部分為矩形A′B′EF，設(shè)BE=x，則AF=A′F=B′E=x，根據(jù)題意列方程得到BE=；如圖3，將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，兩邊重疊部分為△CEG，設(shè)BE=x，則AF=A′F=B′E=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EG=2（4-x），根據(jù)題意列方程得到結(jié)論．

解：如圖1，將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，兩邊重疊部分為五邊形EB′GDF，

∵AB⊥AD，AD∥BC，EF⊥BC，

∴四邊形ABEF是矩形，

∴AB＝EF＝4，AF＝BE，

∵將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，

∴A′F＝AF，B′E＝BE，A′B′＝AB＝4，

設(shè)BE＝x，則AF＝A′F＝B′E＝x，

∴DF＝2﹣x，CE＝4﹣x，

∴A′D＝2x﹣2，CB′＝4﹣2x，

∵A′D∥B′C，

∴△A′DG∽△B′CG，

∴

∴，

∴B′G＝4（2﹣x），

∵兩邊重疊部分的面積為3，

∴ [（2﹣x）+（4﹣x）]×4﹣（4﹣2x）（8﹣4x）＝3

此方程無實數(shù)根，故這種情況不存在；

如圖2，將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，兩邊重疊部分為矩形A′B′EF，

設(shè)BE＝x，則AF＝A′F＝B′E＝x，

∵兩邊重疊部分的面積為3，

∴B′EA′B′＝4x＝3，

解得：x＝，

∴BE＝；

如圖3，將四邊形ABCD沿EF所在直線折疊，兩邊重疊部分為△CEG，

設(shè)BE＝x，則AF＝A′F＝B′E＝x，

∴DF＝x﹣2，CE＝4﹣x，

∵DF∥CE，

∴△DFG∽△CEG，

∴

∴，

∴EG＝2（4﹣x），

∵兩邊重疊部分的面積為3，

∴×2（4﹣x）（4﹣x）＝3，

解得：x＝4﹣或x＝4+（不合題意舍去），

綜上所述，BE的長為或4﹣，

故選：A．