Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF．
（1）求證：△ADF≌△CEF；
（2）試證明△DFE是等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中點(diǎn)，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可證明：△ADF≌△CEF．
（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可證明△DFE是等腰直角三角形．

解答：證明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中點(diǎn)，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF與△CEF中，

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；

（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有點(diǎn)難度，屬于中檔題．