Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．
（1）求證：△ABE≌△CAF；
（2）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時(shí)，試探索EF、BE、CF三條線段的關(guān)系；
（3）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時(shí)，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求FE長．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出∠BAE=∠ACF，∠AEB=∠CFA，就可以得出△ABE≌△CAF；
（2）由△ABE≌△CAF就可以得出EF=BE+CF；
（3）通過證明三角形△ABE≌△CAF就可以得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中

∠BAE=∠ACF ∠AEB=∠CFA AB=CA

∴△ABE≌△CAF（AAS）；

（2）EF=BE=CF．理由：
證明：∵△ABE≌△CAF，
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE；

（3）解：如圖2，∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠BAE=∠ACF ∠AEB=∠CFA AB=CA

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF=10-3=7．
答：EF的長為7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．