Question

【題目】如圖，在矩形中，為原點，點的坐標為，點的坐標為.拋物線經過點，，與交于點.

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)為線段上一個動點(不與點重合)，為線段上一個動點，，連接，設，的面積為，求的最大值及此時點的坐標；

(3)在(2)的條件下，為拋物線的對稱軸上一點，請求出使為銳角三角形時，點的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)時，取最大值，最大值為；點的坐標為(3，4)；(3)或.

【解析】

（1）將，兩點坐標代入拋物線求解即可；

（2）利用勾股定理求得AC=10，過點作于點，則，得到，根據得到S關于m的二次函數關系式，然后化成頂點式即可得解；

（3）由拋物線解析式可得對稱軸為直線，得到D點坐標，分當時，當時，當時，三種情況求得F點坐標即可.

解：(1)將，兩點坐標代入拋物線，得.

解得.

拋物線的解析式為.

(2)，，

.

如圖，過點作于點，則.

.

.

當時，取最大值，最大值為.

，

，

點的坐標為；

(3)∵拋物線的解析式為

對稱軸為直線.

點的坐標為.

由(2)知.

當時，；

當時，；

當時，設.

，

.

解得或.

，.

滿足為直角三角形的點共有四個，坐標分別為，，，.

使為銳角三角形時，點的縱坐標的取值范圍為或.