Question

（2012•密云縣二模）如圖，在邊長為1的等邊△ABC中，若將兩條含120°圓心角的

AOB

、

BOC

及邊AC所圍成的陰影部分的面積記為S，則S與△ABC面積的比是

1

3

或1：3

．

Answer 1

分析：欲求S與△ABC面積的比，可以推出點O就是弧AOB，弧BOC的中點，畫出弧AOB的圓心D，連接DO，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理及弧長公式求解．

解答：解：可以推出點O就是弧AOB，弧BOC的中點，
畫出弧AOB的圓心D，連接DO交AB于點E，
∵∠ADB=120°，AB=1，
∴∠EDB=60°，
∴sin60°=

BE

BD

=

1 2

r

=

3

2

．
可得弧AOB的半徑r=

3

3

．
設(shè)陰影部分的上半部分面積是S₁，下半部分的面積是S₂，
則S₁=2[π（

3

3

）²×

1

6

-（

3

3

）²×

3

4

]=

π

9

-

3

6

，
弧AOB在三角形ABC的部分，的面積為：
T=π（

3

3

）²×

1

3

-（

3

3

）²×

3

4

=

π

9

-

3

12

；
所以S₂=△ABC面積-2T+S₁=

3

4

-2（

π

9

-

3

12

）+（

π

9

-

3

6

）=

3

4

-

π

9

；
∴S=S₁+S₂=

3

12

，
S與△ABC面積的比=

3

12

：

3

4

=

1

3

；
故答案為：

1

3

或1：3．

點評：此題主要考查了扇形的面積計算，可以再作出弧AC，即可看出它們之間的關(guān)系．