Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=分別與x軸、y軸交于A、B兩點，點C是射線AB上一點，CD⊥x軸于點D，且CD=3．
（1）求證：△AOB∽△ADC；
（2）求線段AD的長度；
（3）在x軸上找一點E，連接CE，使得△ACE與△ACD相似（不包括全等），并求點E的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，若點P、Q分別是線段AC、AE上的動點，連接PQ．設(shè)AP=EQ=m，是否存在實數(shù)m，使得△APQ與△AEC相似？如存在，請求出實數(shù)m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵CD⊥x軸于點D，∠BOD=90°，
∴BO∥DC，
∴△AOB∽△ADC；

（2）解：∵直線y=分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴0=，
∴x=-3，
∴A點坐標(biāo)為：（-3，0），
∴B點坐標(biāo)為：（0，），
∵△AOB∽△ADC；
∴=，
∵AO=3，OB=，CD=3，
∴=，
∴AD=4，

（3）解：如圖，過點C作EC⊥AC，交x軸于點E，
在Rt△ADC和Rt△ACE中，
∵∠CAD=∠CAE，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴E點為所求，
又tan∠ACD=tan∠CED=，
∴DE=CD÷tan∠CED=3÷，
∴OE=OD+ED=，
∴E（ ，0）；


（4）解：這樣的m存在．
在Rt△ACE中，由勾股定理得AC=5，
如圖1，當(dāng)PQ∥CE時，△APQ∽△ACE則 ，
解得 ，
如圖2，當(dāng)PQ⊥AE時，△APQ∽△AEC，
則 ，
解得 ．
故存在m的值是 或時，使得△APQ與△AEC相似．
分析：（1）根據(jù)BO∥DC，利用相似三角形的判定得出即可；
（2）利用△AOB∽△ADC，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，得出AO，OB，的長度，求出AD即可；
（3）首先得出Rt△ACD∽Rt△AEC，再利用tan∠ACD=tan∠CED=，進而求出即可；
（4）在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=5，當(dāng)PQ∥CE時，△APQ∽△ACE，解得 ；當(dāng)PQ⊥AE時，△APQ∽△AEC，則解得 ．
點評：此題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．