Question

【題目】如圖，已知tan∠EOF=2，點(diǎn)C在射線OF上，OC=12．點(diǎn)M是∠EOF內(nèi)一點(diǎn)，MC⊥OF于點(diǎn)C，MC=4．在射線CF上取一點(diǎn)A，連結(jié)AM并延長交射線OE于點(diǎn)B，作BD⊥OF于點(diǎn)D．

（1）當(dāng)AC的長度為多少時(shí)，△AMC和△BOD相似；
（2）當(dāng)點(diǎn)M恰好是線段AB中點(diǎn)時(shí)，試判斷△AOB的形狀，并說明理由；
（3）連結(jié)BC．當(dāng)S△AMC=S△BOC時(shí)，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，

∴△AMC和△BOD中，C與D是對應(yīng)點(diǎn)，

∴△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況：

①當(dāng)△AMC∽△BOD時(shí)， =tan∠EOF=2，

∵M(jìn)C=4，

∴ =2，

解得AC=8；

②當(dāng)△AMC∽△OBD時(shí)， =tan∠EOF=2，

∵M(jìn)C=4，

∴ =2，

解得AC=2．

故當(dāng)AC的長度為2或8時(shí)，△AMC和△BOD相似

（2）解：△ABO為直角三角形．理由如下：

∵M(jìn)C∥BD，

∴△AMC∽△ABD，

∴ ，∠AMC=∠ABD，

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，

∴C為AD中點(diǎn)，BD=2MC=8．

∵tan∠EOF=2，

∴OD=4，

∴CD=OC﹣OD=8，

∴AC=CD=8．

在△AMC與△BOD中，

，

∴△AMC≌△BOD（SAS），

∴∠CAM=∠DBO，

∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，

∴△ABO為直角三角形

（3）解：連結(jié)BC，

設(shè)OD=a，則BD=2a．

∵S△AMC=S△BOC，S△AMC= AC MC=2AC，S△BOC= OC BD=12a，

∴2AC=12a，

∴AC=6a．

∵△AMC∽△ABD，

∴ ，即 ，

解得a1=3，a2=﹣ （舍去），

∴AC=6×3=18．

【解析】（1）△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況：△AMC∽△BOD和△AMC∽△OBD，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出AC的長；
（2）易證△AMC∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)可求出OD=4，CD=8，AC=CD=8，從而得出△AMC≌△BOD，則∠CAM=∠DBO，再由∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM可求出∠ABO的度數(shù)，進(jìn)而得出△ABO的形狀；
（3）設(shè)OD=a，則BD=2a．利用三角形的面積可得AC=6a，再由△AMC∽△ABD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出a的值，進(jìn)而得出AC的長.