Question

在直角坐標系中，正方形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸上，A點的坐標為（0、4）．
（1）將正方形OABC繞點O順時針旋轉30°，得到正方形ODEF，邊DE交BC于G．求G點的坐標；
（2）如圖，⊙O₁與正方形ABCO四邊都相切，直線MQ切⊙O₁于點P，分別交y軸、x軸、線段BC于點M、N、Q．求證：O₁N平分∠MO₁Q．

（3）若H（-4、4），T為CA延長線上一動點，過T、H、A三點作⊙O₂，AS⊥AC交O₂于F．當T運動時（不包括A點），AT-AS是否為定值？若是，求其值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出旋轉角∠AOD、∠FOC的度數為30°，進而求出∠GOC的度數，再利用三角函數求出G點坐標；
（2）由切線長定理證得∠MO₁Q=90°，由切線長定理或其他方法證得∠NO₁Q=45°，O₁N平分∠MO₁Q；
（3）在AT上取點V，使TV=AS，構造出全等三角形△HTV≌△HSA，判斷出△HAV為等腰直角三角形，
求得AT-AS=AV=為定值．
解答：解：（1）連接OG，
∵∠AOD=∠FOC=30°，由軸對稱可得∠DOG=∠COG=30°，
又∴OC=4，
∵CG=OC•tan∠COG=4×=，（2分）
∴G（4，）；（3分）

（2）∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根據切線長定理，∠O₁QM+∠Q₁MQ=180°×=90°，
∴∠MO₁Q=180°-90°=90°，（5分）
由切線長定理∠NO₁Q=45°，
∴O₁M平分∠MO₁Q．（7分）

（3）AQ-AF的值是定值為4，（8分）
在AT上取點V，使TV=AS，即AT-AS=AV，
∵AS⊥AC，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵H（-4、4），A（0、4），
∴AH⊥AO；
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，（9分）
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
又∠HTV=∠HAS，TV=AS，
∴△HTV≌△HSA，（11分）
∴△HAV為等腰直角三角形，
∴AT-AS=AV=，AH=4．（12分）
點評：（1）此題不僅要熟悉旋轉角，還要知道旋轉不變性，并聯(lián)系特殊三角形用勾股定理解答；
（2）運用切割線定理是解答此題的關鍵；
（3）構造全等三角形，比作輔助線難度要大，但確是一種有效的解題方法．