Question

在直角坐標(biāo)系中，正方形ABOD的邊長為5，O為原點，點B在x軸的負(fù)半軸上，點D在y軸的正半軸上，直線OE的解析式為y=2x，直線CF過x軸上一點C（-3，0）且與OE平行．現(xiàn)正方形以每秒

1

2

的速度勻速沿x軸的正方向平行移動，設(shè)運動時間為t秒，正方形被夾在直線OE與CF間的部分的面積為S．
（1）當(dāng)0≤t＜4時，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)4≤t≤5時，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系，在這個范圍內(nèi)S有無最大值？若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0≤t＜4時，設(shè)經(jīng)過t秒后正方形移動到A₁B₁MN的位置如圖1，則OM=

t

2

，當(dāng)t=4時，BB₁=OM=2，則點B₁在C的左側(cè)．所以夾在兩平行線間的部分是多邊形COQNG．
其面積=平行四邊形COPG-△NPQ的面積，易得平行四邊形COPG的面積．由點P的縱坐標(biāo)為5，求得點P．從而求得NP，由y=2x知，NQ=2NP，即求得△NPQ面積．
（2）當(dāng)4≤t≤5時，正方形移動到如圖位置，當(dāng)4≤t≤5時，2≤BB₁≤2.5，點B₁在C、O之間，所以夾在兩平行線間的部分是多邊形B₁OQNGR其面積=平行四邊形COPG-△NPQ的面積-△CB₁R的面積，從而求得．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t＜4時，設(shè)經(jīng)過t秒后正方形移動到A₁B₁MN的位置，如圖1，
∴OM=

t

2

，
當(dāng)t=4時，BB₁=OM=2，
∴點B₁在C的左側(cè)，
∴夾在兩平行線間的部分是多邊形COQNG，
其面積為：平行四邊形COPG-△NPQ的面積，
易得平行四邊形COPG的面積=15（1分），
又因為點P的縱坐標(biāo)為5，所以P（

5

2

，5），（2分）
所以：NP=

5

2

-

t

2

，
由y=2x知，NQ=2NP，
∴△NPQ面積=

1

2

NP•NQ=(

5

2

-

t

2

)2，（4分）
∴S=15-

1

2

NP•NQ=-

t2

4

+

5

2

t+

35

4

，（5分）

（2）當(dāng)4≤t≤5時，正方形移動到如圖位置，如圖2，
當(dāng)4≤t≤5時，2≤BB₁≤2.5，點B₁在C、O之間，
∴夾在兩平行線間的部分是多邊形B₁OQNGR其面積為：
平行四邊形COPG-△NPQ的面積-△CB₁R的面積，
∴S=15-(

5

2

-

t

2

)2-(

t

2

-2)2，
=-

t2

2

+

9

2

t+

19

4

（9分），
所以：當(dāng)t=

9

2

時，S有最大值為

119

8

（10分）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點的坐標(biāo)和對稱軸的解析式是解題的基礎(chǔ)．