Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點M（0，3）為圓心、5為半徑的圓與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C、D（點C在點D的上方），經(jīng)過B、C兩點的拋物線的頂點E在第二象限.（1）求點A、B兩點的坐標(biāo).

（2）當(dāng)拋物線的對稱軸與⊙M相切時, 求此時拋物線的解析式.

（3）連結(jié)AE、AC、CE，若．

①求點E坐標(biāo)；

②在直線BC上是否存在點P，使得以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（-4，0）、（4，0）

（2）

（3）①；②

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)M A，根據(jù)勾股定理可得OA=4，所以點A的坐標(biāo)是（-4，0），同理可求點B的坐標(biāo)是（4，0）；（2）設(shè)經(jīng)過B、C兩點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把點C（0,8），點B（4，0）分別代入解析式，又拋物線的對稱軸與⊙M相切，所以對稱軸是x=-5，解方程組便可；（3）①因為，又在Rt△AOC中， 所以可得出AE∥CO，因此點A在拋物線的對稱軸上，所以對稱軸是x=-4，從而可求出二次函數(shù)解析式，可確定點E坐標(biāo)，②因為根據(jù)條件可知∠CAE=∠ACO=∠BCD，因此以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似時，需要分兩種情況討論.

試題解析：（1）連結(jié)M A，由題意得：AM=5，OM=3，則OA=4，同理得OB=4，

∴點A、點B的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0） 4分

（2）設(shè)經(jīng)過B、C兩點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把點C（0,8），點B（4，0）分別代入解析式

∴c=8,0=16a+4b+8，∴b=-4a-2；

此時，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），

它的對稱軸是直線：x==；

又∵拋物線的頂點E在第二象限且該拋物線的對稱軸與⊙M相切，

則=-5，∴a=，b=，

∴拋物線的解析式為； 8分

（3）①在Rt△AOC中，，而，

∴，所以AE∥CO，即點A在拋物線的對稱軸上 10分

又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，∴，∴a=；

∴

∴E 12分

②在直線BC上存在點P，使得以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似，

點P的坐標(biāo)為 16分（每個點P的坐標(biāo)各2分）

考點：1.勾股定理；2.軸對稱；3.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；4.三角函數(shù)；5.相似三角形的判定.