Question

【題目】如圖所示,在矩形ABCD中,O是AC與BD的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線EF與AB,CD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E,F.

(1)求證:△BOE≌△DOF;

(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是菱形?并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AC和BD交于點(diǎn)O

∴AB∥CD; OB=OD

∴∠OEB=∠OFD

∵∠BOE=∠DOF

∴△BOE≌△DOF

(2)解：當(dāng)EF與AC垂直的時(shí)候四邊形AECF是菱形。

證明如下：

∵△BOE≌△DOF

∴ BE="DF"

∵ AB=CD

∴AE=CF且AE∥CF

又∵EF⊥AC

∴ 四邊形AECF是菱形

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；

（2）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．根據(jù)已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)EF⊥AC，可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．