Question

如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ABC=90°．
（1）用尺規(guī)作圖：做線段AB的垂直平分線l，垂足為H．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）設(shè)直線l交AC于D，求證：AD•AB=AH•AC．

Answer 1

分析：（1）分別以A為端點(diǎn)，以大于AB/2長(zhǎng)為半徑，在線段兩側(cè)分別作��；再以B為端點(diǎn)，仍以大于AB/2長(zhǎng)為半徑，在線段兩側(cè)分別作弧，并與已作兩弧交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作一條直線，則為線段AB的垂直平分線；
（2）根據(jù)HD是AB的垂直平分線知，AH=BH，HD⊥AB，所以AH=

1

2

AB，HD是直角三角形ABC的中位線，利用中位線定理求得HD=

1

2

BC，∠AHD=∠ABC=90°從而證明△AHD∽△ABC（SAS）；最后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)證明AD•AB=AH•AC．

解答：解：（1）AH=BH，HD⊥AB；

（2）證明：∵HD⊥AB，∠ABC=90°，
∴HD∥BC；
又∵AH=BH，
∴

AH

AB

=

HD

BC

=

1

2

；
在△AHD與△ABC中，

AH

AB

=

HD

BC

，
∠AHD=∠ABC=90°，
∴△AHD∽△ABC（SAS），
∴

AD

AC

=

AH

AB

（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），
∴AD•AB=AH•AC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解答此題時(shí)，利用了三角形的中位線定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)．