Question

如圖，已知點M，N的坐標分別是M （0，-4），N（4，-4），點A是線段MN上一動點，以A為頂點的拋物線y=a（x-h）²+k和y軸交于點E，和直線x=4交于點F，和直線x=2交于點C，這里a＞0，且a為常數．直線EF和拋物線的對稱軸交于點B，和直線x=2交于點D．
（1）寫出k的值；
（2）求直線EF的函數表達式（表達式中可以含有a，h）；
（3）比較線段BA和CD的長短．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點M，N的坐標分別是M （0，-4），N（4，-4），即可求得直線MN的解析式，則可求得拋物線頂點A的縱坐標，又由拋物線的頂點式：y=a（x-h）²+k，即可求得k的值；
（2）由（1）求得拋物線的解析式，又由拋物線y=a（x-h）²+k和y軸交于點E，和直線x=4交于點F，即可求得點E與F的坐標，然后設直線EF的解析式為：y=kx+b，由待定系數法即可求得直線EF的函數表達式；
（3）由物線y=a（x-h）²+k和直線x=2交于點C，即可求得點C的坐標，由直線EF和拋物線的對稱軸交于點B，和直線x=2交于點D，即可求得點B與D的坐標，繼而求得AB與CD的長，再作差，由完全平方式的非負性，即可求得線段BA和CD的長短關系．
解答：解：（1）∵點M，N的坐標分別是M （0，-4），N（4，-4），
∴直線MN的解析式為：y=-4，
∴點A的縱坐標為-4，
∵拋物線y=a（x-h）²+k的頂點為A，
∴k=-4；

（2）∴拋物線的解析式為：y=a（x-h）²-4，
∵拋物線y=a（x-h）²-4和y軸交于點E，和直線x=4交于點F，
∴點E的坐標為（0，ah²-4），點F的坐標為（4，a（4-h）²-4），
設直線EF的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線EF的函數表達式為：y=（4a-2ah）x+ah²-4；

（3）∵拋物線與直線x=2交于點C，
∴點C的坐標為（2，a（2-h）²-4），
∵直線EF和拋物線的對稱軸交于點B，和直線x=2交于點D，
∴點B的坐標為（h，4ah-ah²-4），點D的坐標為（2，8a-4ah+ah²-4），
∴BA=4ah-ah²，CD=8a-4ah+ah²-4-[a（2-h）²-4]=4a，
∴CD-BA=4a-（4ah-ah²）=a（h²-4h+4）=a（h-2）²≥0，
∴BA≤CD．
點評：此題考查了頂點式與頂點坐標的關系，待定系數法求一次函數，點與函數的關系，完全平方公式的應用等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程的應用．