Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AM是⊙O的直徑，過點A作AP⊥AM．

（1）求證：∠PAC=∠ABC．

（2）連接PB與AC交于點D，與⊙O交于點E，F為BD上的一點，若M為BC的中點，且∠DCF=∠P，求證：=．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）連接BM，由圓周角定理和垂直的性質即可證明∠PAC=∠ABC；

（2）連接AE，根據垂徑定理得出AM⊥BC，進而得出AP∥BC，得出△ADE∽△CDF，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得出．

證明：

（1）連接BM，

∵AM是直徑，

∴∠ABM=90°

又∵AP⊥AM，

∴∠ABC+∠CBM=∠PAC+∠CAM=90°，

又∵∠CBM=∠CAM，

∴∠PAC=∠ABC；

（2）連接AE，

∵AM是直徑，M為BC的中點

∴BC⊥AM，

又∵AP⊥AM，

∴AP∥BC，

∴∠DCF=∠P=∠PBC=∠EAC，

又∵∠CDF=∠ADE，

∴△ADE∽△CDF，

∴．