Question

如圖等腰Rt△ABC中AB=AC，D為斜邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，若BD=nCD，BF⊥AD交AD于E、AC于F．
（1）如圖1，若n=3時(shí)，則

AF

AC

=

 

；
（2）如圖2，若n=2時(shí)，求證：DE=

2

3

AE；
（3）當(dāng)n=

 

時(shí)，AE=2DE．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CG⊥AC交AD的延長(zhǎng)線與G點(diǎn)，由題意可證明△ABD∽△GCD，

CG

AC

= 

1

3

，tan∠EAF=

1

3

，即可證明AF：AC=1：3；
（2）過(guò)D作DG∥BF交AC與F點(diǎn)，CD：DB=1：2，CG：GF=1：2，由第一問(wèn)知AF：AC=CD：BD=1：2，所以，AF：FC=1：1，即可證明DE：AE=2：3；
（3）過(guò)D作DG∥BF交AC與F點(diǎn)，設(shè)CG=k，則：GF=nk，再由第二問(wèn)的解題方法可求得n的值．

解答：解：（1）過(guò)C作CG⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，如圖1所示：
∵CG⊥AC，
∴CG∥AB．
∴△ABD∽△GCD．
∴

CG

AB

= 

CD

BD

= 

1

3

．
∵AB=AC，
∴

CG

AC

= 

1

3

．
∴tan∠EAF=

1

3

．
∴

EF

AE

= 

1

3

．
∵在Rt△ABF中，△AEF∽△BAF，
∴

EF

AE

= 

AF

AB

=

AF

AC

=

1

3

．
∴

AF

AC

=

1

3

．

（2）過(guò)D作DG∥BF交AC于G點(diǎn)，如圖2所示：
∵CD：DB=1：2，
∴CG：GF=1：2．
∵由第一問(wèn)知AF：AC=CD：BD=1：2，
∴AF：FC=1：1．
∴AF：FG=3：2．
∴AE：ED=3：2．
∴DE=

2

3

AE．

（3）過(guò)D作DG∥BF交AC于G點(diǎn)，如圖3所示：
CD：BD=AF：AC=1：n，
CG：GF=1：n，
設(shè)CG=k，則：
GF=nk，
∵AE=2DE，
∴AF=2FG．
∴AF=2nk．
∴AC=3nk+k．
∵AC=nAF，
∴3nk+k=2n²k．
∴n=

3+  17

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．