Question

已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．
（1）求證：FD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）設(shè)OC與BE相交于點(diǎn)G，若OG=4，求⊙O半徑的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)OE=6時(shí)，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．欲證FD是⊙O的切線(xiàn)，只需證明OC⊥CD即可；
（2）由條件可以知道E是AC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，就可以得出G是△ABC的重心，根據(jù)三角形的重0）定理就可以求出OC的長(zhǎng)得出其結(jié)論．
（3）由條件可以求出sin∠ACO=，就可以求出∠ACO=30°，可以求出∠DOC=60°，從而求出CD的值，求出S△DOC的面積，求出扇形COB的面積就可以求出陰影部分的面積．
解答：解：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠CAO=∠ACO（等邊對(duì)等角），即∠EA0=∠ECO，
又∵OE⊥AC，
∴∠CEO=∠AEO=90°，
∴∠AOE=∠COE，∠EOC+∠OCE=90°，
∴∠AOE+∠OCE=90°，
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠FCA+∠OCE=90°．
即∠FCO=90°．
∴OC⊥DF，
∴FD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）連接BE交OC于G，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴G是△ABC的重心，
∴CG=2GO．
∵GO=4，
∴CG=8，
∴OC=8+4=12．
∴⊙O半徑的長(zhǎng)為12．
（3）∵OE⊥AC，OE=6，OC=12，
∴sin∠ACO=，
∴∠ACO=30°，
∴∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴tan∠COD=tan60°==，且OC=12，
∴CD=12．
∴S_△COD=12×12÷2=72．
S_扇形COB==24π，
∴陰影部分的面積為：72-24π．

點(diǎn)評(píng)：本題試一道有關(guān)圓的綜合試題，考查了切線(xiàn)的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)的值的運(yùn)用，垂徑定理的運(yùn)用，三角形的面積，扇形的面積的運(yùn)用．在解答中注意輔助線(xiàn)的運(yùn)用．