Question

【題目】已知：△ABC是等邊三角形，點D是△ABC（包含邊界）平面內(nèi)一點，連接CD，將線段CD繞C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE，DE，AD，并延長AD交BE于點P．

（1）觀察填空：當(dāng)點D在圖1所示的位置時，填空：

①與△ACD全等的三角形是______．

②∠APB的度數(shù)為______．

（2）猜想證明：在圖1中，猜想線段PD，PE，PC之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．

（3）拓展應(yīng)用：如圖2，當(dāng)△ABC邊長為4，AD=2時，請直接寫出線段CE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①△BCE；②60°；（2）PD+PE=PC，證明見解析；（3）CE的最大值為6．

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定證明即可；

②根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和解答即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（3）由（1）可得CE=CD，根據(jù)D點在線段AC上，CD長度最��；D點在CA的延長線上，CD的長度最大，求出CD的最大值即可求得線段CE的最大值．

（1）①如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，

∵將線段CD繞C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，

∴CE=CD，∠DCE=60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠DCE═60°，

∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

故答案為：△BCE．

②∵△ACD≌△BCE，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，

∴∠PBC+∠BAD=60°，

∴∠APB=180°-∠ABC+∠PBC+∠BAP=180°-60°-60°=60°；

故答案為：60°．

（2）結(jié)論：PD+PE=PC．

理由：∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD=60°，∠BAD+∠DBC=60°，

∴∠BAD+∠ABD=∠BDP=60°，

∵∠APB=60°，

∴△BDP是等邊三角形，

∴DP=BP，

∴PD+PE=BE，

∵△ADC≌△BEC，

∴AD=BE，

∵在△ABD與△CBP中

，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴AD=PC，

∴PD+PE=PC；

（3）如圖2中，

∵AC=4，AD=2，

∴D點在線段AC上，CD長度最��；D點在CA的延長線上，CD的長度最大，

∴4-2≤CD≤4+2，

∴2≤CD≤6．

∴CD的最大值為6，

由（1）可知△ACD≌△BCE，EC=CD，

∴EC的最大值為6．