Question

如圖1，扇形AOB中，∠AOB=120°，C為半徑OA上一點(diǎn)，CD∥OB，交

AB

于D點(diǎn)．
（1）當(dāng)CD=6，AC=1時(shí)，直接寫(xiě)出半徑OB的長(zhǎng)，以及CD與OB的大小關(guān)系；
（2）在圖1中畫(huà)出以O(shè)A，OB為鄰邊的菱形AOBE，并說(shuō)明E點(diǎn)的位置；（不要求寫(xiě)菱形AOBE的畫(huà)法）
（3）若將圖1中扇形的圓心角∠AOB改為105°（如圖2），C仍為半徑OA上一點(diǎn)（C點(diǎn)不與O，A兩點(diǎn)重合），CD∥OB，交

AB

于D點(diǎn)，在圖2中畫(huà)圖說(shuō)明滿足CD≤OB時(shí)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，連接OD，設(shè)OC=x，則可得出CE，DE的長(zhǎng)，然后結(jié)合CE+DE=CD=6，可解出x的值，繼而可得出半徑的長(zhǎng)，也可比較CD與OB的大小關(guān)系；
（2）根據(jù)∠AOB=120°，可知△AOE為等邊三角形，即OA=OE，從而判斷出點(diǎn)E在扇形上，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)，可得出點(diǎn)E的位置；
（3）畫(huà)出圖形，結(jié)合菱形與扇形的交點(diǎn)即可作出判斷．

解答：解：（1）

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，連接OD，則∠OCE=180°-∠AOB=60°，
設(shè)OC=x，則OA=x+1，
在RT△OCE中，CE=OCcos∠OCE=

x

2

，
在RT△OED中，ED=

OD2-OE2

=

x2 4 +2x+1

，
又∵CD=6，
∴CE+DE=6，即

x

2

+

x2 4 +2x+1

=6，
解得：x=

35

8

，故可得半徑OB=OA=x+1=5

3

8

，CD＞OB．

（2）∵∠AOB=120°，四邊形AOBE是菱形，
∴△AOE是等邊三角形，OA=OE，即點(diǎn)E在扇形OAB上，
∴AE=EB，
故可得，E點(diǎn)的位置是

AB

的中點(diǎn)．
所畫(huà)菱形AOBE見(jiàn)圖：


（3）畫(huà)出以O(shè)A，OB為鄰邊的菱形AOBE，可知AE，BE與

AB

相交，設(shè)交點(diǎn)分別為G點(diǎn)，H點(diǎn)，則D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍是

GH

，且D點(diǎn)不與G點(diǎn)重合，可與H點(diǎn)重合．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題，涉及了菱形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形四邊相等的性質(zhì)，第一問(wèn)注意利用CD的長(zhǎng)度建立方程，難度一般．