Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點C的坐標為（0，-3），B是射線CO上的一個動點，經過B點的直線交x軸于點A（直線AB總有經過第二、四象限），且OA=2OB，動點P在直線AB上，設點P的縱坐標為m，線段CB的長度為t．
（1）當t=7，且點P在第一象限時，連接PC交x軸于點D．
①直接寫出直線AB的解析式；
②當CD=PD時，求m的值；
③求△ACP的面積S．（用含m的代數式表示）
（2）是否同時存在m、t，使得由A、C、O、P為頂點組成的四邊形是等腰梯形？若存在，請求出所有滿足要求的m、t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①當t=7時，即CB=7，由OC=3，OA=2OB求出A，B兩點的坐標，再設直線AB的解析式為y=kx+b，將A，B兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線AB的解析式；
②過P作PH⊥OA于H，當CD=PD時，根據AAS可得△COD≌△PHD，則PH=OC，即m=3；
③先由PH∥OB，得△APH∽△ABO，根據相似三角形對應邊成比例得出=，求出AH=2m，則OH=8-2m，再根據三角形面積公式得出S_△BCP=28-7m，則S=S_△ABC-S_△BCP=7m；
（2）由于B是射線CO上的一個動點，所以根據B點的不同位置分兩種情況進行討論：①點B運動在y軸的正半軸上；②點B運動在OC上．又動點P在直線AB上，直線AB總有經過第二、四象限，所以在每一種情況下，P點所在的位置又有三種可能的情況：①點P分別在第一、二、四象限；②點P分別在第二、三、四象限．
解答：解：（1）①當t=7時，CB=7，
∵OC=3，
∴OB=CB-OC=7-3=4，
∴OA=2OB=8，
∴A點坐標為（8，0），B點坐標為（0，4）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則，解得，
∴直線AB的解析式為y=-x+4；

②如圖，過P作PH⊥OA于H．
在△COD與△PHD中，
，
∴△COD≌△PHD，
∴CO=PH，
∴m=3；

③∵PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴=，=，
∴AH=2m，OH=8-2m，
∴S_△BCP=×7×（8-2m）=28-7m，
∴S=S_△ABC-S_△BCP=28-（28-7m）=7m；

（2）①當點B運動在y軸的正半軸上時．
a、當點P在第一象限時，如圖1，若四邊形OCAP是等腰梯形，則PA=OC=3．
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×=，即m₁=．
∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=OB，即t=（t-3），
∴t₁==；
b、當點P在第二象限時，如圖2，四邊形AOPC為凹四邊形，不可能為等腰梯形；
c、當點P在第四象限時，如圖3，四邊形AOPC中有一個角為直角，不可能為等腰梯形；
②當點B運動在OC上時．
a、當點P在第二象限時，如圖4，四邊形OACP為凹四邊形，不可能為等腰梯形；
b、當點P在第三象限時，如圖5，四邊形OACP為凹四邊形，不可能為等腰梯形；
c、當點P在第四象限時，如圖6，若四邊形OACP為等腰梯形，則AP=OC=3，
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×=，即m₂=-．
∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=OB，即t=（3-t），
∴t₂==．
綜上所述，滿足要求的m、t的值分別為
或．
點評：本題考查了運用待定系數法求一次函數的解析式，全等三角形、相似三角形的判定與性質，三角形的面積，等腰梯形的性質，銳角三角函數，綜合性較強，難度較大．運用數形結合及分類討論思想是解題的關鍵．