Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=AB，AC平分∠DAB，F為BC上一點，且BF=AD，連接DF交AC于E點，連接BE．
（1）求證：BE=DC；
（2）若AD=4，BC=6，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）分別證明△ABC、△CEF、△ADE都是等邊三角形，然后證得△BFE≌△DEC，從而證得BE=DC；
（2）利用上題證得的平行四邊形和等邊三角形利用勾股定理求解即可．

解答：（1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC．
∵AD∥BC，∠DAC=∠ACB
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∵AC=AB，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠DAC=∠ACB=∠ACB=60°，
∵AD∥BC，AD=BF，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴DF∥AB，
∴∠CEF=∠AED=60°，
∴△CEF、△ADE都是等邊三角形，
∴∠BFE=∠CED，EF=EC，DE=AD=BF，
∴△BFE≌△DEC，
∴BE=DC

（2）解：∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴DF=AB，BF=DE=AD
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=DF=6
作EG⊥BC于點G，
則由勾股定理得：EG=

EF2+GF2

=

3

，
∴在Rt△BEG中，
BE=

BG2+GE2

=

28

=2

7

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質及判定、等邊三角形的判定及性質及全等三角形的判定及性質，考查的知識點比較多，比較碎，但難度不太大．