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        1. (2004•茂名)已知:如圖,在直角坐標(biāo)系中,以點M(1,0)為圓心、直徑AC為的圓與y軸交于A、D兩點.
          (1)求點A的坐標(biāo);
          (2)設(shè)過點A的直線y=x+b與x軸交于點B.探究:直線AB是否⊙M的切線并對你的結(jié)論加以證明;
          (3)在(2)的前提下,連接BC,記△ABC的外接圓面積為S1、⊙M面積為S2,若,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B、M兩點,且它的頂點到x軸的距離為h.求這條拋物線的解析式.

          【答案】分析:(1)在Rt△AOM中根據(jù)勾股定理就可以求出OA的長,從而得到點A的坐標(biāo);
          (2)把A點的坐標(biāo)代入直線y=x+b的解析式,進(jìn)而可以求出OA、OB、OM的長度,根據(jù)勾股定理可以得到AB、BM、AM的長度,根據(jù)勾股定理的逆定理就可以證出△ABM是直角三角形,得到直線AB是⊙M的切線;
          (3)△ABC是直角三角形,BC是斜邊,即外接圓的直徑.在直角△ABC中,根據(jù)勾股定理就可以求出BC的長,就可以求出△ABC的外接圓面積S1.⊙M面積為S2容易得到.根據(jù)就可以求出h的值,則得到拋物線的頂點的縱坐標(biāo),再根據(jù)y=ax2+bx+c經(jīng)過B、M兩點,利用待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式.
          解答:解:(1)由已知AM=,OM=1,(1分)
          在Rt△AOM中,AO==1,(2分)
          ∴點A的坐標(biāo)為A(0,1)(3分)

          (2)證法一:∵直線y=x+b過點A(0,1)
          ∴1=0+b,即b=1,
          ∴y=x+1,
          令y=0,則x=-1,
          ∴B(-1,0),(4分)

          在△ABM中,∵AB=,AM=,BM=2.
          AB2+AM2=(2+(2=4=BM2(5分)
          ∴△ABM是直角三角形,∠BAM=90°,
          ∴直線AB是⊙M的切線.(6分)
          證法二:由證法一得B(-1,0),(4分)
          ∵AO=BO=OM=1,AO⊥BM,
          ∴∠BAM=∠1+∠2=45°+45°=90°(5分)
          ∴直線AB是⊙M的切線.(6分)

          (3)解法一:由(2)得∠BAC=90°,

          ∵∠BAC=90°,
          ∴△ABC的外接圓的直徑為BC,
          (7分)

          ,即,
          ∴h=5(8分)
          設(shè)經(jīng)過點B(-1,0)、M(1、0)的拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x-1),(a≠0)即y=ax2-a,
          ∴-a=±5,
          ∴a=±5,
          ∴拋物線解析式為y=5x2-5或y=-5x2+5.(9分)
          解法二:(接上)求得
          ∴h=5(8分)
          由已知所求拋物線經(jīng)過點B(-1,0)、M(1、0),則拋物線的對稱軸是y軸,
          由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,±5)
          ∴拋物線解析式可設(shè)為y=a(x-0)2±5
          ∴B(-1,0)、M(1,0)在拋物線上,
          ∴a±5=0
          ∴a=?5
          ∴拋物線解析式為y=5x2-5或y=-5x2+5.(9分)
          解法三:(接上)求得∴h=5(8分)
          因為拋物線的方程為y=ax2+bx+(a≠0),由已知得
          解得
          ∴拋物線解析式為y=5x2-5或y=-5x2+5.(9分)
          點評:本題主要考查了切線的證明方法,以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,計算量較大.
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