Question

如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F．另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求證：EF=EG；
（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立．請(qǐng)說(shuō)明理由：
（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若AB=a、BC=b，求

EF

EG

的值．

Answer 1

分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性質(zhì)，可利用ASA證得Rt△FED≌Rt△GEB，則問題得證；
（2）首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、P，然后利用ASA證得Rt△FEI≌Rt△GEH，則問題得證；
（3）首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得△GME∽△FNE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，

∠DEF=∠GEB ED=EB ∠D=∠EBG

，
∴Rt△FED≌Rt△GEB，
∴EF=EG；

（2）解：成立．
證明：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，過點(diǎn)E作EP⊥CD于P，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四邊形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴Rt△FEP≌Rt△GEH，
∴EF=EG；

（3）解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，過點(diǎn)E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，
則∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴

NE

AD

=

CE

CA

，

EM

AB

=

CE

CA

，
∴

NE

AD

=

EM

AB

，即

EN

EM

=

AD

AB

=

CB

AB

=

b

a

，
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴

EF

EG

=

EN

EM

，
∴

EF

EG

=

b

a

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．