Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)是2．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x的正半軸上，點(diǎn)C在y的正半軸上．一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，頂點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）正方形OABC的對(duì)角線(xiàn)OB與拋物線(xiàn)交于E點(diǎn)，線(xiàn)段FG過(guò)點(diǎn)E與x軸垂直，分別交x軸和線(xiàn)段BC于F，G點(diǎn)，試比較線(xiàn)段OE與EG的長(zhǎng)度；
（3）點(diǎn)H是拋物線(xiàn)上在正方形內(nèi)部的任意一點(diǎn)，線(xiàn)段IJ過(guò)點(diǎn)H與x軸垂直，分別交x軸和線(xiàn)段BC于I、J點(diǎn)，點(diǎn)K在y軸的正半軸上，且OK=OH，請(qǐng)證明△OHI≌△JKC．

Answer 1

（1）
（2）OE=EG
（3）證明略

解：(1)由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為:.…………1分
將點(diǎn)D的坐標(biāo)(0,1),點(diǎn)A的坐標(biāo)(2,0)代入,得
a =，b=1.
所求拋物線(xiàn)的解析式為.…………………3分
(2)由于點(diǎn)E在正方形的對(duì)角線(xiàn)OB上,又在拋物線(xiàn)上,
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,m)(),則.  
解得 (舍去).………4分
所以O(shè)E=.………………………5分
所以.
所以O(shè)E="EG. " ……………………………………6分
(3)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(p,q)(,),
由于點(diǎn)H在拋物線(xiàn)上,
所以,即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823003554075875.gif" style="vertical-align:middle;" />,…8分
所以O(shè)H=2–q.
所以O(shè)K=OH=2–q.
所以CK=2－(2－q)="q=IH.         " ……………………………………9分
因?yàn)镃J="OI," ∠OIH=∠JCK=90º,
所以△OHI≌△JKC.…………………………10分