Question

（2013•懷化）如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動點E、F分別從A點、C點同時出發(fā)，均以2cm/s的速度分別沿AD向D點和沿CB向B點運動．
（1）經(jīng)過幾秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在線段AC上，是否存在一點P，使2EP•AE=EF•AP？若存在，請說明P點的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證EF一定平分AC，當EF⊥AC時，△AEM∽△ACD，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得AE的長，從而求得時間t的值；
（2）當EP⊥AD時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以得到2EP•AE=EF•AP，根據(jù)△AEP∽△ADC，即可求得AP的長．

解答：解：（1）在直角△ACD中，AC=

AD2+CD2

=

122+162

=20cm．
設(shè)經(jīng)過ts時EF⊥AC．
則AE=CF=2t，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
在△AME和△CMF中，

∠DAC=∠ACF ∠AME=∠CMF AE=CF

，
∴△AME≌△CMF（AAS）．
則AM=MC=

1

2

AC=

1

2

×20=10cm．
當EF⊥AC時，△AEM∽△ACD，
∴

AE

AC

=

AM

AD

，即

AE

20

=

10

16

，
解得：AE=

20×10

16

=

25

2

．
則t=

AE

2

=

25

4

（s）；


（2）存在．
∵△AME≌△CMF，

∴ME=MF=

1

2

EF，
當EP⊥AD時，△AME∽△AEP，

AE

AP

=

ME

EP

，即AE•EP=AP•ME=AP•

1

2

EF，
即2EP•AE=EF•AP．
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AP

AC

，即

25 2

16

=

AP

20

，
解得：AP=

125

8

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，正確理解當EP⊥AD時，2EP•AE=EF•AP成立，是關(guān)鍵．