Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=8，BC=12，AB=4．動點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA以每秒3個(gè)單位的速度移動；同時(shí)動點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D移動．當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止移動．設(shè)點(diǎn)E移動時(shí)間為t秒．
（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，三點(diǎn)C、E、F共線；
（2）設(shè)順次連接四點(diǎn)B、C、F、E所得封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系（要求寫出t的取值范圍）；并求當(dāng)S取最大值時(shí)tan∠BEF的值；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）依題意得BE=3t，AF=2t，當(dāng)C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，
∵AF∥BC
∴△AEF∽△BEF
∴=即：=；解得t²-6t+8=0，t₁=2，t₂=4
∴當(dāng)t=2或4秒時(shí)，C、E、F三點(diǎn)共線．

（2）當(dāng)0≤t＜時(shí)，S=（2t+12）×4-（4-3t）×2t=3t²+24；
當(dāng)≤t≤4時(shí)，S=（2t+12）×4+12（3t-4）×2t=3t²+24
故當(dāng)t=4時(shí)，S最大為72，此時(shí)BE=3t=12，tan∠BEF==1．

（3）當(dāng)E點(diǎn)在線段AB上時(shí)，BE=EF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即（4-3t）²+（2t）²=（3t）²，解得t₁=3-，t₂=3+（舍去）；
當(dāng)E點(diǎn)在線段AB以外時(shí)，
若BE=BF，則BE²=BF²，即（3t）²=4²+（2t）²，解得：t=±（舍去負(fù)值）；
若BE=EF，則BE²=EF²，即（3t）²=（3t-4）²+（2t）²，解得t₁=3-（舍去），t₂=3+；
若BF=EF時(shí)，AB=AE，即4=3t-4，解得t=，
∴t=3-，，3+，秒時(shí)，以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．
分析：（1）當(dāng)C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，△EAF∽△EBC，用t表示相關(guān)線段的長，用相似比求t；
（2）分兩種情況，即：點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)E在線段AB外；根據(jù)圖形，分別表示面積及t的范圍；
（3）以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，有三種可能，即BE=BF，BE=EF，BF=EF，根據(jù)圖形特點(diǎn)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，列分段函數(shù)的方法，尋找等腰三角形的條件等知識，充分運(yùn)用了勾股定理的計(jì)算功能．