Question

如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，8），AB平行于x軸，B，C，D三點(diǎn)在拋物線y=

9

16

x²上，DC交y軸于N點(diǎn)，一條直線OE與AB交于E點(diǎn)，與DC交于F點(diǎn)，如果E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，四邊形ADFE的面積為

75

2

．
（1）求出B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求a的值；
（3）作△ADN的內(nèi)切圓⊙P，切點(diǎn)分別為M，K，H，求tan∠PFM的值．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的解析式，而B(niǎo)的縱坐標(biāo)就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，也就知道了AB的長(zhǎng)，由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此AB=CD，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，即可求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)．然后代入拋物線的解析式中即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線上OE的解析式，進(jìn)而求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．在梯形ADFE中，上下底的長(zhǎng)就可求出，高是AN即A、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，然后可根據(jù)梯形ADFE的面積求出a的值．
（3）求∠PFM的正切值，就要構(gòu)建直角三角形，連接PM，PK，直角三角形PMN中，已知了FN的長(zhǎng)（根據(jù)F點(diǎn)坐標(biāo)可求得），而MN=PM=r，因此求出圓P的半徑是關(guān)鍵．△ADN中，根據(jù)A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出AD、AN、DN的長(zhǎng)．由于圓P內(nèi)切于△ADN，因此可根據(jù)三角形內(nèi)切圓半徑公式求出圓P的半徑．進(jìn)而可在直角三角形PMF中，根據(jù)tan∠PFM=r：（r+FN）求出∠PFM的正切值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），且AB∥x軸
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，且B點(diǎn)在拋物線y=

9

16

x2上
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

8 2

3

，8）
∴AB=

8 2

3

又∵點(diǎn)D、C在拋物線y=

9

16

x2上，且CD∥x軸
∴D、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱
∴DN=CN=

4 2

3

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

4 2

3

，2）．

（2）設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，8），則直線OE的解析式為：y=

8

a

x
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

a

4

，2 ）
由AE=a，DF=

4 2

3

+

a

4

且S_{四邊形ADFE}=

75

2

，
解得a=10-

4 2

5

．

（3）連接PH，PM，PK                            
∵⊙P是△AND的內(nèi)切圓，H，M，K為切點(diǎn)
∴PH⊥AD PM⊥DN PK⊥AN
在Rt△AND中，由DN=

4 2

3

，AN=6，由勾股定理，得
AD=

2 89

3

設(shè)⊙P的半徑為r，則
S_△AND=

1

2

（

4 2

3

+

2 89

3

+6）r=

1

2

×6×

4 2

3

，r=

12 2

2 2 + 89 +9

在正方形PMNK中，PM=MN=

12 2

2 2 + 89 +9

∴MF=MN+NF=

12 2

2 2 + 89 +9

+

5

2

-

2

5

在Rt△PMF中，tan∠PFM=

PM

MF

=

12 2 2 2 + 89 +9

12 2 2 2 + 89 +9 + 5 2 - 2 5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓，解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．