Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為G．

（1）求拋物線和直線AC的解析式；

（2）如圖，設(shè)E（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE＝S△CGO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)M為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；直線AC解析式為：y＝3x+3；（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．

（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計(jì)算．延長(zhǎng)GC交x軸于點(diǎn)F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．

（3）設(shè)M的坐標(biāo)（e，3e+3），分別以M、N、P為直角頂點(diǎn)作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長(zhǎng)度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），

, 解得：，

∴拋物線解析式為：y=-x2+2x+3，

設(shè)直線AC解析式為y=kx+3，

∴-k+3=0，得：k=3，

∴直線AC解析式為：y=3x+3.

（2）延長(zhǎng)GC交x軸于點(diǎn)F，過G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴G（1，4），GH=4，

∴S△CGO=OCxG=×3×1=，

∴S△CGE=S△CGO=×=2，

①若點(diǎn)E在x軸正半軸上，

設(shè)直線CG：y=k1x+3，

∴k1+3=4 得：k1=1，

∴直線CG解析式：y=x+3，

∴F（-3，0），

∵E（m，0），

∴EF=m-（-3）=m+3，

∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EFGH-EFOC=EF（GH-OC）=（m+3）（4-3）=，

∴=2，解得：m=1，

∴E的坐標(biāo)為（1，0）.

②若點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，則點(diǎn)E到直線CG的距離與點(diǎn)（1，0）到直線CG距離相等，

即點(diǎn)E到F的距離等于點(diǎn)（1，0）到F的距離，

∴EF=-3-m=1-（-3）=4，

解得：m=-7 即E（-7，0），

綜上所述，點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0）或（-7，0）.

（3）存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，

設(shè)M（e，3e+3），則yN=yM=3e+3，

①若∠MPN=90°，PM=PN，如圖2，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)N作NR⊥x軸于點(diǎn)R，

∵MN∥x軸，

∴MQ=NR=3e+3，

∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），

∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，

∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，

∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），

∵N在拋物線上，

∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，

解得：e1=-1（舍去），e2=，

∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，

∴t-1-e=3e+3，

∴t=4e+4=，

②若∠PMN=90°，PM=MN，如圖3，

∴MN=PM=3e+3，

∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），

∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，

解得：e1=-1（舍去），e2=，

∴t=AP=e-（-1）=+1＝，

③若∠PNM=90°，PN=MN，如圖4，

∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），

解得：e=，

∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，

綜上所述，存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．