Question

【題目】如圖已知拋物線y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)C位于第二象限，連接AB，AC，BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積等于△ABC的面積？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）將△ABC沿x軸向右移動(dòng)t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t＜1）時(shí)，平移后△ABC和△ABO重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣5，0）；（3）

【解析】

（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出m的值，結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)在第二象限可得出m＞1，進(jìn)而可確定m的值，再將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及配方法，可求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用分割圖形求面積法可求出△ABC的面積，再由三角形的面積公式結(jié)合S△PAB＝S△ABC可求出AP的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)△ABC平移后得到△A′B′C′，A′B′與y軸交于點(diǎn)M，A′C′交AB于點(diǎn)N，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出線段AB，AC所在直線的解析式，結(jié)合平移的性質(zhì)可得出線段A′B′，A′C′所在直線的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，由三角形、梯形的面積公式結(jié)合S＝S△AOB﹣S△AA′N﹣S△AA′M，即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

（1）∵拋物線y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交y軸于點(diǎn)B（0，3），

∴﹣m2+12＝3，

∴m＝±3．

又∵拋物線的頂點(diǎn)C位于第二象限，

∴﹣ ，

∴m＞1，

∴m＝3，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，如圖1所示．

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴S△ABC＝S△ACD+S梯形CDOB﹣S△AOB，

＝ADCD+（OB+CD）OD﹣OAOB，

＝×2×4+×（3+4）×1﹣×3×3，

＝3．

∵S△PAB＝S△ABC，

∴APOB＝3，

∴AP＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣5，0）．

（3）設(shè)△ABC平移后得到△A′B′C′，A′B′與y軸交于點(diǎn)M，A′C′交AB于點(diǎn)N，如圖2所示．

設(shè)線段AB所在直線的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將A（﹣3，0），B（0，3）代入y＝kx+b，得：

，解得： ，

∴線段AB所在直線的解析式為y＝x+3．

同理，可得出線段AC所在直線的解析式為y＝2x+6．

∵將△ABC沿x軸向右移動(dòng)t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t＜1）得到△A′B′C′，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（t﹣3，0），線段A′B′所在直線的解析式為y＝x+3﹣t（0＜t＜1），線段A′C′所在直線的解析式為y＝2x+6﹣2t（0＜t＜1）．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+3﹣t＝3﹣t，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3﹣t）．

將y＝x+3代入y＝2x+6﹣2t，整理，得：x+3﹣2t＝0，

解得：x＝2t﹣3，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2t﹣3，2t），

∴S＝S△AOB﹣S△AA′N﹣S△AA′M，

＝OAOB﹣AA′yA′﹣OA′OM，

＝×3×3﹣t2t﹣（3﹣t）（3﹣t），

＝﹣t2+3t．

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝﹣ t2+3t（0＜t＜1）．