Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6），B（2，4），C（4，6），D（2，8）．動(dòng)點(diǎn)M在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒

2

個(gè)長(zhǎng)度單位，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)P（1，0）出發(fā)沿x軸向終點(diǎn)Q（7，0）勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求線段AB的解析式，并指出x的取值范圍；
（2）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OMN的面積為S，試求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍，并指出當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值．
（4）兩動(dòng)點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OM與MN能否相等？若能，直接寫出（不要解答過(guò)程）所有符合條件的t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，那么線段AB的解析式就是直線AB在（0≤x≤2）之間的函數(shù)解析式．
（2）已知了A、B、C的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）在三角形OMN中，ON=1+t，關(guān)鍵是求出ON邊上的高，可過(guò)M作MF⊥y軸于F，由于△AFM和AEB都是等腰直角三角形，因此AF=FM=t，可求出OF=6-t，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S，t的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．
（4）本題分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，③M在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，④M在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)．
以①③兩種情況為例進(jìn)行說(shuō)明：

①當(dāng)M在AB上時(shí)，易知△AFM為等腰直角三角形，因此MF=t，若OM=MN，那么必有MF=

1

2

ON，即t=

1

2

（1+t），t=1；
③當(dāng)M在CD上時(shí)，如圖，易知△CRM為等腰直角三角形，CM=

2

t-4

2

，因此CR=t-4，那么FM=CH-CR=8-t，由①知：FM=

1

2

ON，即8-t=

1

2

（1+t），解得t=5．
其他的兩種情況解法與①③完全相同．

解答：解：
（1）設(shè)線段AB的解析式為y=kx+b（0≤x≤2），
由題意得

b=6 2k+b=4

解之，得

k=-1 b=6

，
∴線段AB的解析式為y=x+6（0≤x≤2）
（2）由題意得

c=6 4a+2b+c=4 16a+4b+c=6

，
解之得

a= 1 2 b=-2 c=6

∴所求解析式為y=

1

2

x²-2x+6
（3）當(dāng)M在邊AB上時(shí)，0≤t≤2，AM=

2

t，ON=1+t，分別過(guò)點(diǎn)B、M作y軸垂線，垂足分別為E、F，
如圖所示
，則OE=4，BE=2，AD=OA-OE=6-4=2
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴△AFM也為等腰直角三角形，AF=FM=t，OF=OA-AF=6-t，
∴S=

1

2

ON•OF=

1

2

（1+t）（6-t）=-

1

2

t²+

5

2

t+3
∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

2

t²+

5

2

t+3（0≤t≤2），
當(dāng)0≤t≤2時(shí)，S隨著t的增大而增大；
所以當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值．
（4）能．當(dāng)t=1或5時(shí)，OM與MN相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定以及二次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，要注意（4）要分類討論不要漏解．