Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB=AD，以AB為直徑的⊙F交BD于點C，交AD于點E，CG⊥AD于點G，連接FE，F(xiàn)C．
（1）求證：GC是⊙F的切線；
（2）填空： ①若∠BAD=45°，AB=2 ，則△CDG的面積為 ．
②當∠GCD的度數(shù)為時，四邊形EFCD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AD，F(xiàn)B=FC，

∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，

∴∠D=∠BCF，

∴CF∥AD，

∵CG⊥AD，

∴CG⊥CF，

∴GC是⊙F的切線；

（2）；30°
【解析】解：①∵連接AC，BE，
∵AB是⊙F的直徑，
∴AC⊥BD，∠AEB=90°，
∵AB=AD，
∴BC=CD，
∵∠BAD=45°，AB=2 ，
∴BE=AE=2，
∴DE=2 ﹣2，
∵CG⊥AD，
∴CG∥BE，
∴DG=EG= DE= ﹣1，CG= BE=1，
∴△CDG的面積= DGCG= ﹣ ；
故答案為： ；②當∠GCD的度數(shù)為30°時，四邊形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等邊三角形，
∴∠B=60°，CF=BF= AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，CF= AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF= AB= AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∵CF=EF，
∴四邊形EFCD是菱形；
故答案為：30°．

（1）由等腰三角形的性質得出∠D=∠BCF，證出CF∥AD，由已知條件得出CG⊥CF，即可得出結論；（2）解：①連接AC，BE，根據(jù)圓周角定理得到AC⊥BD，∠AEB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質得到BC=CD，解直角三角形得到DE=2 ﹣2，根據(jù)三角形的中位線的性質得到DG=EG= DE= ﹣1，CG= BE=1，于是得到結論；②證出△BCF是等邊三角形，得出∠B=60°，CF=BF= AB，證出△ABD是等邊三角形，CF= AD，證出△AEF是等邊三角形，得出AE=AF= AB= AD，因此CF=DE，證出四邊形EFCD是平行四邊形，即可得出結論．