Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．

Answer 1

詳見(jiàn)試題解析.

試題分析：
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
試題解析：
（1）∵BD平分∠ABC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD
∴PM=PN
∵PD=PD    Rt△PMD≌Rt△PND
∴∠ADB=∠CDB          （5分）
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠PMD=∠PND=90°
∵∠ADC=90°，
∴四邊形MPND是矩形
∵PM=PN
∴四邊形MPND是正方形               （10分）