Question

【題目】如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一點(diǎn)，且AE=AB，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿D→CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，直線EP交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線FG⊥DE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)R.

（1）求證：AF=AR;
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒，求當(dāng)選t為何值時(shí)，四邊形PRBC是矩形？
（3）如圖2，連接PB，請直線寫出使△PRB是等腰三角形時(shí)t的值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在正方形ABCD中，AD=AB=2，

∵AE=AB，

∴AD=AE，

∴∠AED=∠ADE=45°，

又∵FG⊥DE，

∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，

∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，

∴AF=AR.

（2）

解：如圖，當(dāng)四邊形PRBC是矩形時(shí)，

則有PR//BC，

∴△EAF~△ERP，

∴ ，即： 由（1）得AF=AR，

∴ ，解得：AR=-1+ 或-1- （不合題意，舍去），

∴DP=AR=-1+ ，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿DCB向終點(diǎn)B運(yùn)動，

∴t= -1（秒）.

（3）

解：若PR=PB，

過點(diǎn)P作PK⊥AB于K，

設(shè)FA=x，則RK= BR= （2-x），

∵△EFA~△EPK，

∴ ，

即： ，

解得：x=-3± （舍去負(fù)值）；

X=-3+ ，

∴t= .

若PB=RB，此時(shí)點(diǎn)P在BC上，

則△EFA~△EPB，

∴ ，

∴ ，

∴RB=BP= AB= ×2= ，

∴CP=BC-BP=2- = ，∴t=2+ = （秒）.

綜上所述，當(dāng)PR=PB時(shí)，t= ；當(dāng)PB=RB時(shí)，t= 秒.

【解析】（1）在正方形ABCD中，∠FAR=90°，需要證明∠FRA=∠AFR=45°，又因?yàn)镕G⊥DE，則需要證明∠AED =45°，而AE=AB=AD，則可證得；（2）當(dāng)四邊形PRBC是矩形時(shí)，則有PR//BC，△EAF~△ERP， ，由（1）得AF=AR，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可解得AF，AR，又因?yàn)镈P=AR所以可求得；（3）分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在CD時(shí)，PB>BC=2，PR>2,RB<2,則只有PR=PB這種可能，過P作PK⊥AB于K，由（1）同理可得△EFA~△EPK，根據(jù)相似的性質(zhì)解出AR邊，從而解得時(shí)間t；當(dāng)點(diǎn)P在BC時(shí)，PB<2，RB<2,則只有PB=RB這種情況，還是運(yùn)用相似解出答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．