Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為邊CB上的一個動點（點D不與點B重合），過D作DO⊥AB，垂足為O，點B′在邊AB上，且與點B關于直線DO對稱，連接DB′，AD．

（1）求證：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求線段BD的長；
（3）當△AB′D為等腰三角形時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DO⊥AB，

∴∠DOB=∠DOA=90°，

∴∠DOB=∠ACB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△DOB∽△ACB；

（2）

解：∵∠ACB=90°，

∴AB===10，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，

∴DC=DO，

在Rt△ACD和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），

∴AC=AO=6，

設BD=x，則DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，

在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：DO2+OB2=BD2，

即（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，

∴BD的長為5；

（3）

解：∵點B′與點B關于直線DO對稱，

∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，

∵∠B為銳角，

∴∠OB′D也為銳角，

∴∠AB′D為鈍角，

∴當△AB′D為等腰三角形時，AB′=DB′，

∵△DOB∽△ACB，

∴==，

設BD=5x，

則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，

∵AB′+B′O+BO=AB，

∴5x+4x+4x=10，

解得：x=，

∴BD=．

【解析】（1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易證明△DOB∽△ACB；
（2）先由勾股定理求出AB，由角平分線的性質(zhì)得出DC=DO，再由HL證明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，設BD=x，則DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）根據(jù)題意得出當△AB′D為等腰三角形時，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出，設BD=5x，則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似圖形(形狀相同，大小不一定相同（放大或縮�。�;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對應成比例，夾角相等；④三邊對應成比例)．