Question

定義：如果一條直線(xiàn)把一個(gè)面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線(xiàn)．
如圖1，AD是△ABC的中線(xiàn)，則有S_△ADC=S_△ABD，所以直線(xiàn)AD就是△ABC的一條面積等分線(xiàn)．
探究：
（1）如圖2，梯形ABCD中，AB∥DC，連接AC，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE，那么有S_△AED=S_梯形ABCD，請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由；
（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)A用尺規(guī)作出梯形ABCD的面積等分線(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
類(lèi)比：
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，過(guò)點(diǎn)A能否畫(huà)出四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)？若能，請(qǐng)畫(huà)出面積等分線(xiàn)，并給出證明；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)锳B∥CE，AB=CE，所以四邊形ABEC為平行四邊形，
所以BE∥AC，
所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；

（2）過(guò)點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線(xiàn)的畫(huà)法如圖所示：
作DE的垂直平分線(xiàn)，交DE于G，連接AG．
則AG是梯形ABCD的面積等分線(xiàn)；


（3）過(guò)點(diǎn)A能畫(huà)出四邊形ABCD面積等分線(xiàn)，
連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，
作△AED的中線(xiàn)AF，則△AED的中線(xiàn)AF所在的直線(xiàn)即為四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)．
因?yàn)锽E∥AC，所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．
因?yàn)锳F是△AED的中線(xiàn)，
∴S_△AEF=S_△AFD=S_△AED=S_{四邊形ABCD}，
∴△AED的中線(xiàn)AP所在直線(xiàn)即為四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)，作圖如下：
．
分析：（1）利用平行線(xiàn)的判定得出四邊形ABEC為平行四邊形，根據(jù)等底等高可得S_△ABC=S_△AEC，即可證明S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；
（2）過(guò)點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線(xiàn)的畫(huà)法，可以先作DE的垂直平分線(xiàn)，找到DE的中點(diǎn)G，再連接AG即可；
（3）連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE，證明可仿照（2）進(jìn)行．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力、運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用三角形、等底等高性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力都有較高的要求．還滲透了由“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)思想．