Question

【題目】如圖，是的外接圓，是的直徑，過圓心的直線于，交于，是的切線，為切點，連接，．

（1）求證：直線為的切線；

（2）求證：；

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）10．

【解析】

（1）連接OA，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對應角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線；
（2）由一對直角相等，一對公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證．

（1）連接OB，

∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直線PA為⊙O的切線．

（2）由（1）可知，，

，

，

=90，

，

，

，即，

是直徑，

是半徑

，

，

，

整理得；

（3）是中點，是中點，

是的中位線，

，

，

，

是直角三角形，

在中，，

，

，

，

，則，

、是半徑，

，

在中，，，

由勾股定理得：

，即，

解得：或（舍去），

，

．