Question

（2012•涼山州）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定 f(x)=

1

1+x

，例如：f(4)=

1

1+4

=

1

5

，f(

1

4

)=

1

1+ 1 4

=

4

5

，則f(2012)+f(2011)+…+f(2)+f(1)+f(

1

2

)+…+f(

1

2011

)+f(

1

2012

)=

2011.5

．

Answer 1

分析：當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=

1

2

；
當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=

1

3

，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（

1

2

）=

2

3

；
當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=

1

4

，當(dāng)x=

1

3

時(shí)，f（

1

3

）=

3

4

…，
故f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…，所以f（n）+…+f（1）+…+f（

1

n

）=f（1）+（n-1），由此規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答：解：∵當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=

1

2

，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=

1

3

，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（

1

2

）=

2

3

；當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=

1

4

，當(dāng)x=

1

3

時(shí)，f（

1

3

）=

3

4

…，
∴f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…，
∴f（n）+…+f（1）+…+f（

1

n

）=f（1）+（n-1），
∴f(2012)+f(2011)+…+f(2)+f(1)+f(

1

2

)+…+f(

1

2011

)+f(

1

2012

)=f（1）+（2012-1）=

1

2

+2011=2011.5．
故答案為：2011.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分式的加減法，根據(jù)題意得出f（n）+f（

1

n

）=1是解答此題的關(guān)鍵．