【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A、B（5,0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為M(2,-9)，連接BM，點P為線段BM上的一個動點．
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)過點P作x軸的垂線，垂足為點Q，求四邊形ACPQ面積的最大值．
(3)是否存在點P，使得以P、M、C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在，
，或 
或
【解析】
（1）根據(jù)拋物線的頂點為
，將
化成頂點式
，然后將點
代入，化簡計算即可；
（2）求出A，B，C三點的坐標，可得直線
的表達式為
，設(shè)點
，則
，根據(jù)
化簡求解即可；
（3）分三種情況討論：當
時，當
時，當
時分別求解即可.
解：（1）
拋物線的頂點為，
設(shè)拋物線的表達式為.
將點代入得，
.
解得
二次函數(shù)的表達式為
；
（2）令
，得
，
.
拋物線的對稱軸為直線
，，
.
由，可得直線的表達式為，
設(shè)點，則，
則
.
,
,
當
時，四邊形
面積有最大值，最大值為；
（3）存在，由（2）知直線的表達式為.
設(shè)
，其中
，
由，，可得，
，
，
；
分情況討論如下：
1. 當時，有
.
解得
（舍），
，
此時點
的坐標為；
2. 當時，有
.
解得
（舍），
，
此時點的坐標為；
3. 當時，有
.
解得
此時點的坐標為；
綜上所述，當
是等腰三角形時，點的坐標為，或 或.
科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】愛好思考的小明在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
（特例研究）
（1）如圖1，當tan∠PAB=1，c=4
時，a=b= ；
（歸納證明）
（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖2證明你的結(jié)論；
（拓展證明）
（3）如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點G，AD=3
，AB=3，求AF的長．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為
；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作PN∥BC分別交BD，CD于點M,N，連接QM，QN．設(shè)運動時間為
．解答下列問題：
（1）當
為何值時，點
在線段
的垂直平分線上？
（2）設(shè)
的面積為
，求
與的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻，使的面積為菱形
面積的
，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
（4）是否存在某一時刻，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校在宣傳“民族團結(jié)”活動中，采用四種宣傳形式：A．器樂，B．舞蹈，C．朗誦，D．唱歌．每名學(xué)生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學(xué)校就宣傳形式對學(xué)生進行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
請結(jié)合圖中所給信息，解答下列問題：
(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有_____人；
(2)補全條形統(tǒng)計圖；
(3)該校共有1200名學(xué)生，請估計選擇“唱歌”的學(xué)生有多少人？
(4)七年一班在最喜歡“器樂”的學(xué)生中，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學(xué)中隨機選出兩名同學(xué)參加學(xué)校的器樂隊，請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，直線
，點A1坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2；再過點A2作x軸的垂線交直線于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸于點A3，…，按此做法進行下去，點A2020的坐標為______________．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】新冠肺炎疫情期間，小明同學(xué)想利用所學(xué)的知識測量他家對面某廣告牌的寬度（圖中線段MN的長），直線MN垂直于地面，垂足為點P．在地面A處測得點M的仰角為58°、點N的仰角為45°，在B處測得點M的仰角為30°，AB＝5米，且A、B、P三點在一直線上．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬MN的長．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60，
=1.73．）
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校為了解學(xué)生課外閱讀情況，就學(xué)生每周閱讀時間線上隨機調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果整理如下：
閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計表
閱讀時間t（小時） | 人數(shù) | 占人數(shù)百分比 |
0≤t＜0.5 | 4 | 20% |
0.5≤t＜1 | m | 15% |
1≤t＜1.5 | 5 | 25% |
1.5≤t＜2 | 6 | n |
2≤t＜2.5 | 2 | 10% |
根據(jù)圖表解答下列問題：
（1）此次抽樣調(diào)查中，共抽取了 名學(xué)生；
（2）在閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計表中m＝ ，n＝ ；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請估計該校2000名學(xué)生中有多少名學(xué)生每天閱讀時間在2≤t＜2.5時間段？
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖1,在矩形
的邊
上存在點
,使得
,我們稱點為矩形的“和諧點
(1)求證: 
;
(2)如圖2,矩形
的頂點
的坐標為
為坐標原點,點
分別在
軸和
軸上,在
邊上是否存在“和諧點”，如果存在,求出點的坐標;如果不存在,請說明理由
(3)在(2)中,如果點的坐標為
,且在上存在“和諧點”求
的取值范圍
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖1，拋物線
與
軸交于點
，與
軸交于點
，在軸上有一動點
，過點
作軸的垂線交直線
于點
，交拋物線于點
，過點作
于點
．
（1）求
的值和直線的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)
的周長為
，
的周長為
，若
，求
的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，將線段
繞點
逆時針旋轉(zhuǎn)得到
，旋轉(zhuǎn)角為
，連接
、
，求
的最小值．
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