Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）如果AC=，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=AD，然后求出AB=AD=BD，從而得到△ABD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出△DAB=60°，然后根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)求解即可；

（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分求出AO，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DE=AO．

解：（1）∵E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，

∴AD=DB，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴AD=DB=AB，

∴△ABD為等邊三角形．

∴∠DAB=60°．

∵菱形ABCD的邊AD∥BC，

∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°，

即∠ABC=120°；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC于O，AO=AC=×4=2，

由（1）可知DE和AO都是等邊△ABD的高，

∴DE=AO=2．