Question

【題目】如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在CA的延長線上，連結(jié)EB、ED，且EB=ED.

(1)求證:∠DEC=∠ABE；

(2)點(diǎn)D關(guān)于直線EC的對(duì)稱點(diǎn)為M,連接EM、BM：

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②求證:EB=BM.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①作圖見解析；②證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，再根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)題意作出圖形即可；

②由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到：DE=EM，DG=GM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠2=∠1．由（1）的結(jié)論即可得到∠1=∠3．再證明△BEM是等邊三角形即可得出結(jié)論．

（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

∵BE=DE，∴∠EBD=∠EDB，∴∠EBA+∠ABC=∠CED+∠C，∴∠EBA =∠CED，即∠DEC=∠ABE；

（2）①作圖如下：

②∵D、M關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴DE=EM，DG=GM，∴∠2=∠1．由（1）得：∠2=∠3，∴∠1=∠3．

∵BE=DE，∴BE=ME．

∵∠3+∠BEA=∠BAC=60°，∴∠1+∠BEA=60°，∴∠BEM=60°．

∵BE=ME，∴△BEM是等邊三角形，∴EB=BM．