Question

填空：
（1）已知（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，則x²+y²的值等于

 

．
（2）已知實數(shù)x、y滿足x²-2x+4y=5，則x+2y的最大值為

 

．
（3）設a²+b²=4ab且a≠b，則

a+b

a-b

的值等于

 

．

Answer 1

分析：（1）利用整體的思想把原方程看作是關于x²+y²的一元二次方程，利用因式分解法求解即可，要注意的是x²+y²是非負數(shù)；
（2）利用x來表示x+2y，從而得到關于x的二次函數(shù)，然后配成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質確定最大值；
（3）先把a²+b²=4ab看作為關于a的一元二次方程，解方程求出a，即得到a和b的關系，然后代入所求的代數(shù)式，再利用二次根式的性質化簡即可．

解答：解：（1）∵（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，
∴（x²+y²）²-2（x²+y²）-8=0，
∴（x²+y²+2）（x²+y²-4）=0，
∴x²+y²-4=0
∴x²+y²=4；
（2）∵x²-2x+4y=5，
∴4y=-x²+2x+5，
∴2（x+2y）=-x²+4x+5
=-（x-2）²+9，
∵a=-1＜0，
當x=2時，2（x+2y）有最大值9，即x+2y有最大值

9

2

；
（3）∵a²+b²=4ab，
∴a²-4ab+b²=0，
∴a=

4b± 12b2

2

=（2±

3

）b，
當a=（2+

3

）b，
原式=

3+ 3

1+ 3

=

3 ( 3 +1)

1+ 3

=

3

；
當=（2-

3

）b，
原式=

3- 3

1- 3

=

3 ( 3 -1)

1- 3

=-

3

，
∴

a+b

a-b

的值等于±

3

．
故答案為4；

9

2

；±

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值問題：先把二次函數(shù)配成頂點式：y=a（x-k）²+h，當a＞0，x=h，y有最小值h；當a＜0，x=h，y有最大值h．也考查了運用換元法解方程和構建二次函數(shù)的關系式以及二次根式的性質．