Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，AB=2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；
（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，且AB=2，

根據(jù)對(duì)稱性，得AM=MB=1，

∵對(duì)稱軸為直線x=2，

∴OA=1，OB=3，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0），

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，得到 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3

（2）

解：如圖1中，連結(jié)BC，與對(duì)稱軸交點(diǎn)則為點(diǎn)P，連接AP、AC．

由線段垂直平分線性質(zhì)，得AP=BP，

∴CB=BP+CP=AP+CP，

∴AC+AP+CP=AC+BC，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，得△APC周長(zhǎng)的最小，

∵C為（0，3）

∴OC=3，

在Rt△AOC中，有AC= = ，

在Rt△BOC中，有BC= =3 ，

∴△APC的周長(zhǎng)的最小值為： +3

（3）（2，﹣1）
【解析】解： （3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，EM=DM時(shí)，以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時(shí)點(diǎn)D（2，﹣1）

所以答案是D（2，﹣1）．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．