Question

（2007•宿遷）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O₁的直徑OA在x軸上，O₁A=2，直線OB交⊙O₁于點B，∠BOA=30°，P為經過O、B、A三點的拋物線的頂點．
（1）求點P的坐標；
（2）求證：PB是⊙O₁的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了圓的半徑，即可得出A點的坐標；連接O₁B，過點B作BC⊥x軸于點C，可在構建的直角三角形O₁BC中，根據BO₁C的度數和圓的半徑求出B點坐標，進而可根據O、A、B三點坐標求出拋物線的解析式，即可得出P點坐標．
（2）證PB是⊙O₁的切線，就是證O₁B⊥PA，本題主要利用勾股定理進行秋季．可根據O₁，P，B三點坐標，分別求出O₁P、PB的長，然后用勾股定理進行判斷即可．也可求出直線BP與x軸的交點（設為D）的坐標，然后在三角形O₁BD中，用勾股定理驗證．道理一樣．
解答：（1）解：如圖，
連接O₁B，過點B作BC⊥x軸于點C
∵∠BOA=30°，半徑O₁A=2，
∴∠BO₁C=60°，O₁C=1，BC=
∴點B坐標為（3，）．
設過O（0，0），A（4，0）兩點拋物線解析式為y=ax（x-4），
∵點B（3，）在拋物線上，
∴=a×3×（3-4），
∴a=-，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x，
∴頂點P的坐標為（2，）．

（2）證明：設過P（2，）、B（3，）兩點直線的解析式為y=kx+b，
則，
∴直線的解析式為y=-x+2，
令y=0，則x=6，
∴直線PB與x軸的交點坐標為D（6，0），
∴OD=6，CD=3，O₁D=3+1=4，
∵OB=2
∴BD=2，
∴O₁B²+BD²=2²+（2）²=16=O₁D²
∴O₁B²+BD²=O₁D²
∴O₁B⊥BD，
即PB是⊙O₁的切線．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、切線的判斷等知識．