Question

如圖，已知點(diǎn)B（-2，0）C（-4，0），過點(diǎn)B，C的⊙M與直線x=-1相切于點(diǎn)A（A在第二象限），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是A₁，直線AA₁與x軸相交點(diǎn)P
（1）求證：點(diǎn)A₁在直線MB上；
（2）求以M為頂點(diǎn)且過A₁的拋物線的解析式；
（3）設(shè)過點(diǎn)A₁且平行于x軸的直線與（2）中的拋物線的另一交點(diǎn)為D，當(dāng)⊙D與⊙M相切時(shí)，求⊙D的半徑和切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由切割線定理求出PA的長，得到A和A′的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MB的解析式是y=kx+b，代入即可求出解析式，把A₁的坐標(biāo)代入即可判斷；
（2）拋物線的解析式設(shè)為y=a(x+3)2+

3

，將點(diǎn)A₁坐標(biāo)代入，可得a=-

3

2

，即可得到答案；
（3）過點(diǎn)A₁且平行于x軸的直線為y=-

3

，解由y=-

3

和y=-

3

2

(x+3)2+

3

組成的方程組，求出方程組的解得到D的坐標(biāo)，以點(diǎn)D為圓心且與⊙M相切的圓有兩種情況：外切或內(nèi)切，
當(dāng)⊙D與⊙M外切時(shí)，DM=4，求出⊙D的半徑為2，點(diǎn)C（-4，0）就是切點(diǎn)，當(dāng)⊙D與⊙M內(nèi)切時(shí)，求出⊙D的半徑為6，點(diǎn)⊙E(-2，-2

3

)是切點(diǎn)，即可得出答案．

解答：（1）證明：由題意知：P（-1，0），BP=1，CP=3，
∵PA與⊙M相切于A，PBC是⊙M的割線，
∴PA²=PB•PC即PA2=1×3=3，PA=

3

，
∵A在第二象限，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是A₁
∴A(-1，

3

)，A1(-1，-

3

)，
可得M(-3，

3

)，
設(shè)直線MB的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=-2k+b 3 =-3k+b

，
解得：

k=- 3 b=-2 3

，
∴直線MB的解析式為y=-

3

x-2

3

，
當(dāng)x=-1時(shí)y=

3

-2

3

=-

3

，
即點(diǎn)A₁在直線MB上．

（2）解：∵所求拋物線以M(-3，

3

)為頂點(diǎn)，
∴拋物線的解析式可設(shè)為y=a(x+3)2+

3

，
將點(diǎn)A₁坐標(biāo)代入，可得a=-

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

2

(x+3)2+

3

，
答：以M為頂點(diǎn)且過A₁的拋物線的解析式為y=-

3

2

(x+3)2+

3

．

（3）解：過點(diǎn)A₁且平行于x軸的直線為y=-

3

，
由y=-

3

2

(x+3)2+

3

和y=-

3

，
解得x1=-1，y1=-

3

．

x

2

=-5，y2=-

3

，
∴A1(-1，-

3

)，D(-5，-

3

)，
以點(diǎn)D為圓心且與⊙M相切的圓有兩種情況：外切或內(nèi)切
當(dāng)⊙D與⊙M外切時(shí)，DM=4，
∴⊙D的半徑為2，點(diǎn)C（-4，0）就是切點(diǎn)，
當(dāng)⊙D與⊙M內(nèi)切時(shí)，⊙D的半徑為6，點(diǎn)⊙E（-2，2

3

）是切點(diǎn)，
答：當(dāng)⊙D與⊙M外切時(shí)，⊙D的半徑為2和切點(diǎn)坐標(biāo)是（-4，0）；當(dāng)⊙D與⊙M內(nèi)切時(shí)，⊙D的半徑為6，切點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，2

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，圓與圓的相切的性質(zhì)，切割線定理，解二元一次方程組，關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．