Question

如圖，直線(xiàn)y=

3

5

x-4分別交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若D是OA中點(diǎn)，過(guò)A的直線(xiàn)l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，并交y軸于點(diǎn)C．
①求過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
②把①中的拋物線(xiàn)向上平移，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N，試問(wèn)過(guò)M、N、B三點(diǎn)的圓的面積是否存在最小值？若存在，求出圓的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線(xiàn)y=

3

5

x-4分別交y軸于B點(diǎn)，令x=0，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①由D是OA中點(diǎn)，過(guò)A的直線(xiàn)l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，并交y軸于點(diǎn)C，即可求得點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)，然后設(shè)過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；
②由拋物線(xiàn)的解析式可化為y=-

9

100

（x-5）²+

1

4

，其對(duì)稱(chēng)軸是x=5．由于過(guò)M、N的圓的圓心必在對(duì)稱(chēng)軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，即點(diǎn)B到圓心的距離要最短，過(guò)B作BE垂直拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，垂足為E，則符合條件的圓是以E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑的圓，求得圓的面積．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）；

（2）①∵過(guò)A的直線(xiàn)l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，
∴C（0，-2），
又∵A（

20

3

，0），D是OA中點(diǎn)，
∴D（

10

3

，0），
設(shè)過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，
∴

400 9 a+ 20 3 b+c=0 100 9 a+ 10 3 b+c=0 c=-2

，
解得：

a=- 9 100 b= 9 10 c=-2

，
∴過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=-

9

100

x²+

9

10

x-2；
②存在．
理由如下：拋物線(xiàn)的解析式可化為y=-

9

100

（x-5）²+

1

4

，其對(duì)稱(chēng)軸是x=5．
由于過(guò)M、N的圓的圓心必在對(duì)稱(chēng)軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，
即點(diǎn)B到圓心的距離要最短，過(guò)B作BE垂直拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，垂足為E，
則符合條件的圓是以E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑的圓，
其面積為25π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及圓的面積的最小問(wèn)題．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．