Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足為F．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數式表示）；
（3）當△ECA為直角三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A、B的坐標分別代入二次函數解析式，列出關于a、c的方程組，通過解該方程組來求它們的值；
（2）通過相似三角形（△EDF∽△DAO）的對應邊成比例得到=，結合正切三角函數的定義求得EF=t．由該相似三角形的對應邊成比例還得到==，則DF=OA=2，所以，OF=t-2．
（3）如圖，過E點作EM⊥x軸于點M，構建矩形EFOM．當當△ECA為直角三角形時，需要分類討論：
當∠CEA=90°時，根據勾股定理得到CE²+AE²=AC²，把相關線段的數據代入可以列出關于t的方程，通過解該方程即可求得t的值；
當∠ECA=90°時，根據勾股定理可得CE²+AC²=AE²，即，通過解該方程得知點D與點C重合．
解答：解：（1）二次函數y=ax²+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（-1，0），
∴，解得，
∴這個二次函數的解析式為：y=-2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA，
∴△EDF∽△DAO，
∴=．
∵=tan∠DAE=，
∴=，
∴=，∴EF=t．
同理=，
∴DF=OA=2，∴OF=t-2．

（3）∵拋物線的解析式為：y=-2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如圖，過E點作EM⊥x軸于點M，則四邊形EFOM是矩形，
∴EF=OM．
∴在Rt△AEM中，EM=OF=t-2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，
當∠CEA=90°時，CE²+AE²=AC²，即，解得：t=4
當∠ECA=90°時，CE²+AC²=AE²，即，解得：t=8．即點D與點C重合．
綜上所述，t的值是4．
點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到了待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質以及解直角三角形．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．