Question

如圖，點(diǎn)P為x軸正半軸上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸軸的垂線，交函數(shù)y=

1

x

的圖象于點(diǎn)A，交函數(shù)y=

4

x

的圖象于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，交y=

1

x

于點(diǎn)c，邊接AC．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，求△ABC的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使A、O、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形△QAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)你連接OA和OC．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）時(shí)，△OAC的面積是否隨t的值的變化而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為1，分別代入解析式，求出A、B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入y=

1

x

，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，表示出BC、AB的長(zhǎng)度后，即可得出△ABC的面積．
（2）先求出OA的長(zhǎng)度，然后分情況討論，①OA=OP，②AP=AO，③PO=PA，分別得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．
（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，

1

t

），點(diǎn)B（t，

4

t

），點(diǎn)C（

t

4

，

4

t

），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，CD⊥y軸于點(diǎn)D，根據(jù)S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF，表示出示出△OAC的面積，即可得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

1

x

上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

4

x

上，
∴點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（1，4），
∵BC∥x軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，
又∵點(diǎn)C在y=

1

x

上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

4

，4），
∴AB=3，BC=

3

4

，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AB=

9

8

；
（2）如圖①所示：OA=

12+12

=

2

，
①若OA=OP，點(diǎn)P位于P₁或P₂位置，此時(shí)P₁（0，-

2

），P₂（0，

2

）；


②若AP=AO，點(diǎn)P位于P₃位置，此時(shí)P₃（0，2）；
③若PO=PA，點(diǎn)P位于P4位置，此時(shí)P₄（0，1）；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖②所示：

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，

1

t

），點(diǎn)B（t，

4

t

），點(diǎn)C（

t

4

，

4

t

），
∴S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF=1+

1

2

（

1

t

+

4

t

）×（t-

t

4

）-

1

2

-

1

2

=

15

8

；
故△OAC的面積不隨t的值的變化而變化．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了反比例函數(shù)的k的幾何意義，梯形的面積及等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，難度較大．