Question

如圖，點(diǎn)P為x軸正半軸上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交函數(shù)y=

1

x

的圖象于點(diǎn)A，交函數(shù)y=

4

x

的圖象于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，交y=

1

x

于點(diǎn)C，連接AC．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，求△ABC的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使A、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形△QAC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)你連接QA和OC，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，O）時(shí)，△ABC的面積是否隨t的值的變化而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)和函數(shù)的解析式可以分別求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得三角形的面積；
（2）分類討論：①以AC為底的等腰△AOQ；②以AQ為底的等腰△AOQ；③以QC為底的等腰△AOQ；
（3）根據(jù)（1）中的方法進(jìn)行求解，看最后的結(jié)果是否為一個(gè)定值即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相等，即為1．
∵點(diǎn)A在函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的雙曲線上，
∴A點(diǎn)縱坐標(biāo)是：y_A=

1

1

=1，
∵點(diǎn)B在函數(shù)

4

x

（x＞0）的圖象上，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是：y_B=

4

1

=4．
∵BC∥x軸，
∴點(diǎn)C、B的縱坐標(biāo)相等，即y_B=y_C=4．
∵點(diǎn)C在函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的雙曲線上，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)是：x_C=

1

yC

=

1

4

，
∴AB=3，BC=

3

4

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×3×

3

4

=

9

8

，即△ABC的面積是

9

8

；

（2）設(shè)Q（0，y）．由（1）知，A（1，1），C（

1

4

，4）．
①當(dāng)以AC為底時(shí)，QA=QC，則

12+(y-1)2

=

( 1 4 )2+(y-4)2

，解得，y=

75

32

，即Q₁（0，

75

32

）；
②當(dāng)以AQ為底時(shí)，QC=AC，即

( 1 4 )2+(y-4)2

=

(1- 1 4 )2+(1-4)2

，解得，y=4+

38

2

或y=4-

38

2

，即Q₂（0，4+

38

2

），Q₃（0，4-

38

2

）；
③當(dāng)以CQ為底時(shí)，QA=AC，即

12+(y-1)2

=

(1- 1 4 )2+(1-4)2

，解得，y=

4+ 137

4

，或y=

4- 137

4

，即Q₄（0，

4+ 137

4

），Q₅（0，

4- 137

4

）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是：Q₁（0，

75

32

），Q₂（0，4+

38

2

），Q₃（0，4-

38

2

），Q₄（0，

4+ 137

4

），Q₅（0，

4- 137

4

）；

（3）△ABC的面積不隨t的值的變化而變化．理由如下：
∵根據(jù)（1）中的思路，可以分別求得點(diǎn)A（t，

1

t

），B（t，

4

t

），C（

t

4

，

4

t

）．
∴AB=

3

t

，BC=

3

4

t，
∴△ABC的面積是

9

8

．
∴△ABC的面積不會(huì)隨著t的變化而變化．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題．解答此題時(shí)要能夠根據(jù)解析式熟練地求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)計(jì)算相關(guān)線段的長(zhǎng)度．