Question

（2013•十堰）如圖1，△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．
（1）求證：⊙O與CB相切于點E；
（2）如圖2，若⊙O過點H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積和tan∠BHE的值．

Answer 1

分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；
（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長，由圓O過H，CH垂直于AB，得到圓O與AB相切，由（1）得到圓O與CB相切，利用切線長定理得到BE=BH，如圖所示，過E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF與△BCH相似，由相似得比例，求出EF的長，由BH與EF的長，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積；根據(jù)EF與BE的長，利用勾股定理求出FB的長，由BH-BF求出HF的長，利用銳角三角形函數(shù)定義即可求出tan∠BHE的值．

解答：（1）證明：∵CA=CB，點O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圓O與CB相切于點E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=

1

2

AB=3，
∴CH=

CA2-AH2

=4，
∵點O在高CH上，圓O過點H，
∴圓O與AB相切于H點，
由（1）得圓O與CB相切于點E，
∴BE=BH=3，
如圖，過E作EF⊥AB，則EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴

BE

BC

=

EF

CH

，即

3

5

=

EF

4

，
解得：EF=

12

5

，
∴S_△BHE=

1

2

BH•EF=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

，
在Rt△BEF中，BF=

BE2-EF2

=

9

5

，
∴HF=BH-BF=3-

9

5

=

6

5

，
則tan∠BHE=

EF

HF

=2．

點評：此題考查了切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．