Question

【題目】如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA＝2OB．

（1）求拋物線C2的解析式；

（2）在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MO，MC，M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MOC面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段OC的長(zhǎng)度；（3）S△MOC最大值為．

【解析】

（1）C1、C2：y=ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，則a=-1，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式，即可求解；
（2）點(diǎn)A關(guān)于C2對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)O（0，0），連接OC交函數(shù)C2的對(duì)稱軸與點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，即可求解；
（3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）= -x2+x，即可求解．

（1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點(diǎn)B（2，0），

∵C1、C2：y＝ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，則a＝﹣1，

則點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式得：

0＝﹣16+4b，解得：b＝4，

故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x；

（2）聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得：x＝0或3，

故點(diǎn)C（3，3），

連接OC交函數(shù)C2的對(duì)稱軸與點(diǎn)P，

此時(shí)PA+PC的值最小為：線OC的長(zhǎng)度;

設(shè)OC所在直線方程為：

將點(diǎn)O（0，0），C（3，3）帶入方程，解得k=1，

所以O(shè)C所在直線方程為：

點(diǎn)P在函數(shù)C2的對(duì)稱軸上，令x=2,帶入直線方程得y=2,

點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）

（3）由（2）知OC所在直線的表達(dá)式為：y＝x，

過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)M（x，﹣x2+4x），則點(diǎn)H（x，x），則MH=﹣x2+4x﹣x

則S△MOC=S△MOH+S△MCH

=MH×xC = （﹣x2+4x﹣x）=

∵△MOC的面積是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，且開(kāi)口向下

其頂點(diǎn)就是它的最大值。其對(duì)稱軸為x==，此時(shí)y=

S△MOC最大值為．